熱阻Ψ Psi and Theta Θ的差異與使用時機

        最近因為工作的關係，大學電子學的熱阻Rth-JA, Θja不斷的出現在我的眼前，但讀書時候沒念好，工作時候真煩惱，在閱讀規格書或網路資料的時候，會同時看到Psi (Ψ)這個參數，而且很多時候文章並沒有講得很清楚很容易讓人誤會為什麼同一顆Device，好像有兩個不同的參數，重點是兩個參數的定義又長的一樣。

        IC電子元件都會有一個建議的工作溫度上限，因為超過這個溫度，元件可能會有不預期的損壞或快速老化，所以計算時候會假設環境溫度Ta (Ambient Temperature)，與元件消耗功率Power下，會假設散熱路徑是與溫度是個線性的關係，所以可以定義熱阻Rth-JA (Theta-JA)，這時候就可以用已知參數Ta and Power來推算Tj為何。

        但通常在密閉的環境裡，其實很難定義Ta這個邊界條件，所以會實務上會去量測IC表面的溫度Tc or PCB的溫度Tb然後利用熱阻參數來計算，但這時候就到底要用Θ-jc還是Ψ-jc. 呢?

IC封裝與節點溫度

Ψ-jc, Ψ-jt, Psi-JT推導

        我們在回顧一下間單熱阻模型，一個IC與環境的熱阻我們可以簡化成四個散熱係數

1. Junction to Top Case, Θ-jc IC到封裝表面的散熱係數

2. Junction to Board, Θ-jb IC到PCB表面的散熱係數

邊界條件就是環境溫度，這個溫度是假設恆溫不變動溫度Ta,

3. Top Case to Ambient, Θ-ca 封裝表面到環境的散熱係數

4. Board to Ambient, Θ-ba PCB到環境的散熱係數

標準熱阻模型

        給定邊境條件環境溫度Ta與發熱源Power整個等校封閉模型如上，看起來很像KCL and KVL電子電路學電阻網路，其實....也是啦因為都是線性網路，熱阻的定義與歐姆定律比較一下。
Θ-ab = (Ta-Tb)/Power(a to b)
R-ab= (Va-Vb)/I (a to b)
溫度T對應電壓V，功率W對應電流A，熱阻 Θ就對應電阻R。

        所以有這樣的背景，我們可以推算一下上圖模型Power_up與Power的關係式，往上的路徑up與往下的路徑down會與看到的熱阻成反比，這也容易理解，因為熱阻越小代表越容易導熱，也就是功率會選擇阻力比較小的移動。

        知道Power_up的功率，再由熱阻的定義就可以計算出Tc與Tj的關係式如下

      最後整理一下就可以得到Ψ-JT = (Tj-Tc)/Power的定義式，整理成以下公式可以看出來Psi-JT, Ψ-JT與Theta-JC, Θ-JC的關係，一般熱阻係數都為正數，所以分母為大於1的數，也就是說
Psi-JT會小於Theta-JC

        如果我們整理封閉網路的邊界條件與變數，可以得到以下式子，Tj與Power, Ta和Theta-JA的關係，但我們可以從整個系統的任一個節點比方說Tc or Tb來推算。

Θ-JC 和Ψ-JT的關係與如何得到Θ-JC 

        我們在回頭看一下Psi-JT and Theta-JT的關係，從上面的關係式可以知道Psi(Ψ)是整個系統的結果，系統則是由很多節點的熱阻Theta(Θ)組成，所以以下的公式也沒有錯，但Theta的條件應該要更明確式流過J and C兩點的Power，而並非總功率。

        實務上與等校模型就如下所示，比方說要量測Theta-JC，所以把待測物周圍包覆隔熱材料，強迫熱往其中一個方向導去，這時候一樣的公式就會等於Theta-JT=(Tj-Tc)/Power

結論, Theta and Psi使用時機

        熱阻的目的大部分是要評估一個系統Tj的溫度有沒有超過元件的上限，用來評估元件最糟情況與使用年限，下面給一個範例，如果Theta-CA, JC, JB and BA分別為200, 100, 30, 60，這代表這顆IC大部分的散熱路徑是透過Bottom, PCB底部散熱，量測表面溫度或PCB溫度都可以反算Tj的溫度，在這個Case下如果Tj是80C，1W的功耗，Tc與Tb因為Psi-JB and Psi-JT一樣，所以Tc=Tb=103C. 這也不代表往上散熱與往下散熱是一樣的，只是往下比較容易散熱，往上流的功率較小，所以量到比較冷，就跟保溫瓶的道理一下。

        當你在IC表面散熱片，一樣的case Tb會量測到101C, Tc會量測到109C，加了散熱片還比較熱，當然這麼想會覺得很奇怪，但你知道Psi的模型後，你就知道這是正常的。

        Psi是提供一個最終的結果，但這結果可以是量測得到或用模型得到，但這是參數只適用於某一種PCB, 散熱片與機構設計，所以散熱片更改這個參數會隨之改變，Theta是建立模型的底，知道一顆元件的封裝模型可以知道要降低最終的Theta-JA要把功夫花在哪邊。

       另外我們可以整理出Psi與Theta的公式如下，Psi是最終系統的結果，我們可以透過量測的手段得到。

        雖然看起來有四個變數四個等式，但實際上只有兩個等式，所以假設我們知道一顆IC的熱阻係數Θ-JC and Θ-JB, IC內部內建Thermal Sensor，所以可以量測到Tj, Tb and Tc，這樣我們可以反推算Θ-CA and Θ-BA兩個熱阻參數，這兩個熱阻參數會取決整個PCB的或散熱片大小，可以用來了解整各熱模型的分配。

參考資料

Texas Instruments, Application Report, "Semiconductor and IC Package Thermal Metrics";

Roger Stout, Senior Research Scientist, ON Semiconductor, Technology Development, Advanced Packaging, Phoenix, "Psi or Theta: Which One Should You Choose?"

QuickMath, 解聯立方程式, http://www.quickmath.com/

西安印象 三天兩夜............差 ........ 旅

        晚上八點，在盤算著明天雙十國慶放假要做什麼。只有一天的假日跟老大Dyson在家看寶可夢劇場版好了，正當要把筆記型電腦合起來，傑克長官走了過來，你明天就西安一趟，What......? 明天放假ㄟ，現在都下班了也沒辦法訂機票，傑克拿起電話撥給旅行社，幫我同事訂一下機票，就這樣我第一次來到古都西安。
        因為隔天訂不到機票，所以晚了一天星期四早上8點的飛機出發，到香港機場轉機，早上5點就要起床出門，下午3點才到西安機場，下午拜訪客戶後到飯店也快10點了。

Holiday Inn

        進到飯店還可以，乾淨也沒有怪味道，比去上海出差好多了，但這房間裡怎麼有另外一扇門，打電話問櫃台，雖然櫃台說那扇門是打不開的，但出門在外，明天還要工作實在不想要房間有一扇不能反鎖的門，想一想還是換了一間房間，不然晚上有人敲門說要不要特別服務，比方說按摩馬殺雞阿，那不嚇死我。

有兩個門的房間

        隔天星期五工作結束後，回到飯店整理了一下出差紀錄，就展開......差.........旅........的另外一部份，一趟這麼遠來到13朝古都長安城，而且下次來可能都是阿公的時候了，下午5點來到長安城牆，西安城牆整建的非常完整，可以在上面繞一圈約14多公里，沒錯繞一圈要14多公里，但幸好上面可以租借腳踏車，不然是要走到什麼時候。還有租腳踏車是要付現金不收支付寶等行動支付，所以記得領點現金。
         一上來就看到剛好有人在拍婚紗，一圈走了下來約有7-8組新人在拍婚紗，我看了一下覺得，台灣婚紗攝影至少領先5年以上..........不知道有沒有台灣朋友來這裡發展婚紗攝影。

        因為時間不多，所以趕時間騎了一圈，14公里騎下雖然距離不算遠，但........城牆上面並不平整，騎太快其實很不舒服，騎到一半就天黑了下來，但是這樣可以看到白天與天黑的城內風光。如果有朋友來蠻推薦下午4點左右來，慢慢騎慢慢看，一來天氣比較涼爽也可以同時看到白天與晚上的風光。

        騎了2個小時也差不多肚子也餓了，網路查了一下附近有一條很有名的回民街，西安因為地理位置，所以回族人口不少，飲食文化也深受其影響，回民街如其名應該是回族聚集的地方，你可以想像來逛台灣夜市，除了賣的東西不一樣，感覺就差不多啦。

        回民街很好找，就在著名景點鐘樓的後面，從南門走路過來大概花費10分鐘的時間，從地理位置來看這裡應該是長安城的中心點，逛起來有點像西門町搭配較大的古蹟，有現代的麥當勞星巴克但混合著古時候的建築，繞道鐘樓後面.....讓我有點點止步，擁擠的人潮雖然路面寬敞但卻擠得水洩不通，可是都來了肚子也餓了，還是繼續往裡面走進去。

        

        整條回民街賣的東西其實都差不多，整理一下就是 

        1. 紅柳烤肉 2. 肉夾饃 3. 泡饃 4. 涼皮 5. 石榴汁 6. 甄糕 .....還有魷魚...魷魚.....魷魚，沒錯讓我最不解的就是魷魚，火爆魷魚，鐵板魷魚，爆炸魷魚......大家知道西安無論往東南西北哪個方向，離海最近都要1000公里遠嗎? 還寫回族美食! 我書讀得不多啦，但這點我..........

       走在回民街上有一家老孫家佔據了整條街，賣的東西從羊肉串，泡饃，肉夾饃，麻辣羊蹄，羊雜湯幾乎你上網查西安要吃什麼他都有賣，今天晚餐吃了老孫家的紅柳烤肉與牛肉泡饃，本來想說乾脆在吃他家的肉夾饃，但想想給其他家機會，但後來吃到一家很一般的肉夾饃，因為中午在客戶餐廳吃飯的時候已經有吃過肉夾饃了，但比較起來這家肉夾饃我比較沒那麼喜歡，皮的部分太軟太像割包的口感。

        肉夾饃吃起來就是麵疙瘩，但現在要吃麵疙瘩也不容易，小時候我老媽常煮給我們小孩吃，但這東西本身就是麵食，比拚的是湯頭與配料，因為就吃過這一家我也不知道是不是吃到正宗的，晚餐讓我覺得最好吃的是..........烤羊肉串。整體來說如果第一次來西安我覺得這條街是可以來逛逛，就是給觀光客來一次吃飽喝足的地方，不會讓你有不好的印象，但我覺得別的地方可能有更正宗的回族食物吧

        隔天因為是下午四點的飛機，查了一下附近還有一個有名的景點大雁塔，早上就拖著行李去逛逛，大雁塔是唐玄奘修建用來存放經文的圖書館，因為中國古時候建築都是以木造為主，如果不小心發生大火，全部的資料就這樣沒了，所以才會修建這磚造大雁塔，也因為這樣即使經歷了大小戰亂，這座塔還是保留了下來。

        大雁塔本身門票是45人民幣，如果要登大雁塔還要再買燈塔門票25人民幣，因為塔內很窄，我一早去還沒有甚麼人，但快中午離開時後發現已經有人在排隊，所以建議要來大雁塔可以一早8-9點就來，附近慢慢逛一下12點還有著名的音樂水舞表演。

        水舞廣場對面馬路就是長安大學，所以附近吃東西也方便，這次就挑了當地的連鎖店魏家涼皮，這家店也賣牛肉漢堡，薯條還有台灣滷肉飯.....

        涼皮口感像粄條，但口感比較脆，路上看到的吃法都是淋上辣油與醋，我看當地人也都點來吃，應該算是當地平日食物。

        路上攔了計程車前往機場，西安機場本身國際航線並不多，安檢跟上海還有深圳比較起來，算比較嚴，會每個人都搜身的那一種，可能是西安本身靠近新疆比較近，但總體西安是個會讓人想再回來當個觀光客的地方，機場買個伴手禮就回家了。(回家查才知道狗屎糖是四川名產不是西安名產)

       

        

RF Power Amplifier 剛剛好的輸出功率與負載線Load Line淺談，選功率放大器跟買車其實很像

Introduction

        功率放大器在學習的過程，從電子學一直到微波工程，有時候對為什麼是Power Matching不是共軛匹配? 負載線理論? 為什麼Voltage Sweep是兩倍的Vcc (twice Vcc)? 最高效率有時候是25%有時候50%? 常常搞迷糊，今天抽空把之前弄迷糊的地方寫下來。

　　功率放大器就是.....一個放大器，功能目的就是把輸入訊號放大，傳遞最大功率輸出，因為行動裝置距離基地台距離可不是家裡擺一台AP router這麼近，要能夠把訊號不失真的傳送出去，就需要功率放大器，這也是每次iphone出新手機，財經新聞就會把功率放大器概念股拉出來講一次。

　　一個功率放大器最重要的指標就是輸出功率可以到多大，1W, 2W...10W然後效率與線性度，線性度就是要放大等比例把輸入訊號放大，接收端才不會上傳一張照片卻失真變成金城武。

　　如果是用在行動裝置上面ex iphone，電流表現尤其重要，這關乎手機是否發熱與電池續航力，在真實世界裡行動裝置在傳輸功率是一個動態的過程，也就是說在訊號不好的時候會輸出最高功率1W 30dBm，但是大部分時間訊號好的時候可能只有操作27dBm或更低。

　　以這樣的應用場景，應該挑選或設計一顆功率輸出功率大於30dBm的功率放大器，但又怕最後設計天線效率不如預期，所以應該要抓一點點Margin，但要抓多大的規格呢? 多個1dB or 2dB or 3dB呢?

       那不就選用市面上能輸出最高功率的放大器不就好了，這就跟買車一樣，到底要買100匹馬力，還是買300匹馬力輸出的汽車道理蠻像，讓我娓娓道來。

線性功率放大器Linear RF Power Amplifier (Class A)

        一般常見的RF Power Amplifier如下圖，這是一個common emitter架構的功率放大器，無論是BJT or FET，電晶體在這裡的作用可以視為一個電流控制器，白話一點就是水龍頭，控制訊號iB是控制電流的開關。

　　這裡假設RF Choke Inductor與AC coupling電容都非常大，所以可以簡化成右邊架構，最後流過電晶體的電流iC會從負載R流過電晶體R，這時候負載得到的功率用歐姆定律 I^2*R就可以得到。

        因為是電晶體本身只能一個開關用來控制流過電流的大小，如果輸入訊號是一個正弦波訊號AC or RF訊號，那一開始就要給一個偏壓電流讓電流Iqc這時候，這樣輸出電流波型才會上下對稱，也就是處在線性操作　(Linear Operating)

負載線理論Load-Line 最大線性功率輸出Ropt

        負載線理論是功率放大器用來決定輸出負載R是幾歐姆? 底下是一個完美IV Curve, X軸是Collector電壓vC，Y軸是流過電晶體的電流iC，偏壓點bias point也就是只有DC狀態的初始點是

　　　　1. Vqc:  Supply Voltage Vcc

　　　　2. Iqc : 偏壓電流IB所對應的Iqc

iCC流過負載R，負載上面的電壓輸出vC就會沿著負載線移動。

電流輸出限制Current Limitation

    負載線理論Load Line Theory主要要討論的是不同的負載會限制電流的輸出大小， 下圖虛線R' < R，所以電流往上掃的過程需要更大的電流才會對應相同的電壓輸出，但電流往下也就是電晶體越關越緊越關越緊到最後完成鎖死沒有電流的情況下，可以看到以下這個例子電流輸出波型會不對稱，輸入訊號是弦波但輸出訊號下半部被截止，也就是所謂的失真。

電壓輸出限制Voltage Limitation

       我們把R'設定比原本的R來的大，這時候可以觀察到電流往上增加的過程，Vc在降低，但降到最後會碰到vC=0的這條線，因為電晶體本身只是控制電流大小，當你VBE兩端電壓都為零的時候，沒有電位差是不會有電流的，所以這時候電流會被"截止斷頭"造成電流波型失真。

最佳負載線Ropt與偏壓點Vqc and Iqc

        一個線性功率放大器的操作，電流不希望被截止失真，但是以上的例子可以看出來負載線R與偏壓點Vqc, Iqc是互相綁再一起，比方說上面電壓輸出限制造成電流頭頂截止的狀況，可以透過調整bias point上電流的swing上下對稱。

　　　　1. 拉高Vqc，增加電流往上擺幅太大被左邊電壓0V邊界限制住。

　　　　2. 降低Iqc，降低電流往下擺幅達到下上對稱的結果。

　　不更改負載R的條件下我們可以透過更改偏壓點的負載來達成最佳性線偏壓點，但可以看到這兩個最大的輸出線性功率是不一樣的。會相差20log(Vqc2/Vqc)，如果Vqc=3V, Vqc2=6V最大線性輸出功率就會差到6dB。

    

決定最佳負載線，最高電壓2倍Vcc?

　　實際應用的時候，電壓Vcc已經被決定例如3.5V, 5V, 12V, 24V.....，這然後再決定線性輸出功率多少，就可以算出Iqc和Ropt，例如系統電源為3.5V, 輸出功率為33dBm，因為輸出要對稱，這邊的考量都是因為輸出要是線性輸出，所以當你Vcc決定，你的最大高壓Swing就會是兩倍Vcc，這一點與有些電子學用Transformer所以有兩倍輸出的概念不太一樣，因為電壓Waveform實際會超過2倍，但因為沒有電流，所以這個輸出功率是虛，並不是說最Voltage Swing只能兩倍Vcc喔。

　　 所以我們可以計算用Pout推算出RL，因為電流要對稱輸出，所以可以計算出Iqc的值。

     

最高輸出效率

        從電子學就有學過Class A Power Amplifier，但你可能有印象最Class A PA高效率Maximum Efficiency為50%，但使用Transformer後會變成50%。這中間的差異主要是來自RF輸出功率，剛剛上面提到最高線性輸出會是2倍的Vcc，但如果是電子學一開始會用電阻當負載，也就是說最高的Voltage Swing只能到Vcc而非2xVcc，但消耗的總DC功率是不變的 IqcxVcc.

        所以在最高線性輸出2W的時候可能拿到50%的效率，但如果輸出功率退到27dBm，因為總消耗功率沒有變，效率就會跟著降低到12.5%。

不同負載線輸出效率比較

　　一樣的Vcc條件下，把輸出功率設定到30dBm然後可以計算出一組新的RL與Iqc，可以看到因為輸出功率比較低，但是輸出的Voltage Swing是不變的(最大一樣是2xVcc)，這邊在提醒一下，2xVcc是不失真情況下最高的輸出，並不是說以下的IV curve限制了輸出電壓只能2xVcc。

　　如果一樣是退回27dBm下操作，可以看到Max Pout 30dBm的效率就會比Max Pout 33dBm放大器的效率好，這理由也很簡單就是Iqc降低整體DC工耗降低導致。

　　這動作其實跟現在很多小cc的汽車道理很像，買了馬力輸出500hp的汽車，但實際高速公路只有用到40-60hp，耗油只是理所當然的事情。

功率放大器的省電技巧，動態Bias Point

        就跟汽車省油技術一樣，例如大家有聽過i-VTEC正時可變汽門技術或渦輪增壓Turbo技術一樣，在小功率輸出的時候我把Iqc降低一點讓電流Swing剛好滿足當時線性功率輸出的要求，這樣就可以在小功率輸出的時候節省不必要的DC功耗。

　　把可調Iqc的概念放到套用在剛剛33dBm輸出的功率放大器上面，一樣退到27dBm操作的時候，效率就可以從原本12.5%拉高到25%.

        一樣的作法我在在比較一次RL設計給33dBm與RL設計給30dBm，在可調Iqc的條件下，套用在ＲＬ設計給30dBm的功率放大器上面，還是可以得到比較明顯的改善。

功率放大器的省電技巧 II

　　聰明的你一定想到，Class A最佳線性輸出效率是50%，所以如果同時調整Vcc和Iqc這樣不就是可以達到效率一直處於50%的甜蜜位置嗎? 如下圖所示。

　　恩...以上面整個模型沒錯，如果系統可以任何調整Vcc和Iqc而且IV curve也是理想的，但現實是很殘酷的。

　　讓我們回到現實元件的IV curve，本身並非線性，所以實際可以操作的Vcc和Iqc範圍是有限制的，而且如果靠Buck來降低Vcc，效率通常會直接損耗在Buck身上。

　　剛剛提到的都是調整bias point，但RL呢? 這其實也是目前實際在使用的技術，常見的Antenna Tuning (Capacitor Array)就是這樣的功能。

/

結論

　　上面提到的都是很理想的模型，你也知道實驗室油耗數據跟上路實測都有差異，只是實際限制比較多，並不能真實達到理論的偏壓操作點與輸出功率。

　　其實可以看到，選用功率放大器要看輸出功率與生產的容忍變異來決定用多大的功率輸出，並不是越高越好，就像買車一樣，剛剛好用的車最省油，但是如果你就是要馬力或功率輸出有多大就多大，不在意油耗或電流，那是另外一種選項。

在現實(Real)的世界裡，意識虛幻(imaginary)的存在, 現代通訊基礎傅立葉轉換Fourier Transform

i (imaginary) 虛數

        黃昏，非日非夜的時段，世界的輪廓變得模糊，可能看到非人之物的時段。七月普渡的時候，有沒有想過有沒有你看不到事物正在供品前面，每次數學重大的突破，都為了人類科學往前進一個世代，現在無論學任何工程學科，都一定會處理複數complex a+bi，i (imaginary)，虛數的出現也才推進整個科學往後進步， 虛數在學習過程都習慣它的存在，但你如何在現實的時域領域中觀察到到的存在?
   

歐拉Euler's Formula

        學電子電機的一定會用過示波器Oscilloscope，底下是一個常見的cos(wt)與sin(wt)訊號，無論任何訊號就是時間與某個東西的變化，底下弦波就是時間對電壓的變化，但你量的到的都是時數訊號Real Part, 但Euler's formula 歐拉公式卻串聯了實數與虛數之間的關聯。

時域訊號

        歐拉公式Euler's Formula跟我們講cos(x) or sin(x) 可以用寫成如下訊號，跟你講說一個實數(Real)骨子裡面帶有i (imaginary) 虛數成分，其實一開始學i的時候就跟你說i的定義是i平方會等於-1，-1是個實數Real但是你卻無法在實數座標軸上面點出i一樣，不覺得這個跟陰陽兩界很像嗎? 說不定它存在但只是生活在現實世界(Real)的你觀察不到虛無世界的數，但透過特別的方法比方說觀落陰某種轉換過程可以讓你間接觀察到它。

最美的数学公式是哪个？自然数是如何拓展出复数的？李永乐老师讲欧拉公式（2018最新）

傅立葉Fourier Transform

        傅立葉轉換Fourier Transform是工程數學上一個很重要的工具，無論是影像處理或通訊領域，沒有它你手上的iPhone就會變成一台影音撥放機iPod，Fourier它是一個一對一的線性轉換公式，一維的x軸上取樣單位如果是時間軸time, u就是時間的倒數1/T, 也就是頻譜f的概念，但然如果是距離呢? 什麼是距離的倒數呢? 比方說波長的倒數光學系統就很常用到，當然拓廣到二維那又是另外一個與我們生活息息相關的影像處理基礎了。
     

        但數位是無法處理連續的訊號，紀錄下來的任何資料都是離散(Discrete)訊號，所以會常看到DFT離散傅立葉轉換，其實生活中目前大部分的訊息都是離散的資訊，比方說數位音樂，影片，股市指數.....ㄟ 都是離散的訊號。你一小時記錄一次，那你就可以1分鐘紀錄一次，那一分鐘記錄一次那為什麼不1秒鐘記錄一次..........所以在怎麼細分下去記錄在多資訊都是離散的資料。

        如下圖示個離散訊號取樣的過程，離散傅立葉轉換是個1對1維度的轉換，所以右邊的取樣維度為N個點，轉後也會得到N點的F(u)資料，而且轉換過程F(u)會是以複數complex的形式出現。

DFT

Negative Frequency 負頻概念

        DFT轉換中如果 x為時間，也就是f(x)為取樣的數據，傅立葉轉換F(u)就是頻譜函數，另外因為DFT離散傅立葉轉換是複製取樣訊號為其中一個週期訊號，從Euler's Formula可以知道整個展開中的根為Cos or Sin，三角函數Sin or Cos經過180度後，會相差一個正負號。所以在表示式方面常會看到有人把它最以下的轉換方便閱讀。

          以常見到的cos與sin訊號進行Fourier Transformation，可以得到以下資訊，可以看到Cos or Sin都會看到轉出負頻率的成分，而且在數學計算上面頻譜為複數Complex形式 (a+bi)，這也是一個在學習工作工程困擾我的過程，因為一般頻譜分析儀都是量測大小，看不到所謂的負頻成分與複數形式，那種看不到但感覺好像存在的東西真的令人感到困惑。
        1. Negative Frequency
        2. Complex Spectrum

        其實Sin or Cos的例子可以看出來，在只有實數(Real)的訊號下，會得到虛數的頻譜，但傅立葉轉換剛剛前面提到是個線性過程，因為我們只能量到真實的訊號(Real Part)去進行運算，可以得到數學上有虛部成分的頻譜訊號，反過來如果我們先把頻譜訊號固定好，再利用轉換過程得到時序訊號呢?

OFDM/IFFT 通訊概念

        FFT/IFFT是Inverse/ Fast Fourier Transform的縮寫，它是一個DFT的特例型，所以基本上它就是DFT，只是N必須要為2的次方例如2, 4, 8, 16.....4096..2^N等等，這也是現代常見通訊技術的基礎LTE, WiFi 802.11ac/ac, ADSL，都是基於OFDM調變技術，而OFDM就必須要往下談到Inverse Fast Fourier Transform 。
        學通訊都知道QAM的調變技術，在相同的Symbol Rate下可以增加傳輸量，把上面計算的時域訊號經過計算....可以得到頻譜訊號，頻譜訊號又是Complex格式，我們可以利用這個特點來進行QPSK的調變(16QAM, 64QAM, 256QAM也是一樣的理論)，例如我們要傳送11的訊號就把f1的頻譜設定為1+0i, 要增加資料量我們在塞入一個頻譜-f1，比方說要傳送10的訊號就設定為0+1i，這樣我們就有所謂的數學上或在電腦上的頻譜資訊，有虛數存在資訊。

QAM

        然後再利用Fourier Transform把頻譜資訊轉換成時序訊號，這樣我們就可以利用DAC依序把資料刻出來，就像CD/MP3一樣把存放在電腦的資訊轉換出來，但這邊出了一些小問題，那就是轉出來的訊號有imaginary part，但是真實的世界只能接受真實的訊號，或你要怎麼把需部訊號在真實的世界表現出來?

Complex Time Domain Signal

        事實上沒有辦法，兩個維度的訊號就需要兩個頻道(Channel)來傳送，所以可以這麼傳送，把兩個訊號獨立出來傳送，在接收端分別在解回來。

IQ modulation

        但實際上不會這麼做，如果是拉兩條獨立的電纜線cable還可以，但無線通訊就不太實際了，所以接下來就是大家不陌生的IQ modulation, 透過Sin(wt) and Cos(wt) 彼此正交的特性，將兩個獨立的訊號載到相同的頻率上面再透過一樣的方式接調下來。

Conclusion

         To see is to believe, 到最後你會發現，在真實的世界裡你沒辦法產生複數的時域訊號，透過一些轉換(數學)你可以了解到它的存在，或許就跟很多科幻電影講到，二維生活的螞蟻無法意識到三維的世界，三維世界的我們無法感受多維的世界觀一樣，現實的訊號無法察覺到虛數的存在。

參考連結:

https://www.dsprelated.com/showarticle/192.php
http://www.panoradio-sdr.de/ssb-demodulation/
http://rfic.eecs.berkeley.edu/ee242/pdf/Module_2_1_RxArch.pdf