大家多少應該都聽說過天線陣列，無論是馬斯克StarLink[1]這種塞了1264個天線，還是iPhone 毫米波mmWave[2]常見的1x4天線陣列，這些天線陣列的目的主要是波束賦形(Beamforming)讓天線的增益變大並且波束可以指定特定的方向，雖然講是這麼講但自己也是聽說，也沒花時間學習其原理，加上之前有朋友問了相關問題，想說自己先學習一下看能不能轉換成比較友善的語言，這幾天從網路上一些課程從頭學習天線陣列的理論[4][5][6][7]，複雜的問題先簡單來，先從一個天線變成兩個天線陣列，如果瞭解N=2的原理，其它的應該就只是在這上面延伸。
看完前面幾個章節，覺得自己應該懂了有能力重寫成朋友比較容易理解的形式，但自己在寫的時候，卻發現陷入了一個奇怪的盲点，一般來說陣列天線陣列會有個兩兩天線距離d的參數，通常在0.5~1波長(λ)之間，但假設一個理想的全向性無損的天線(loss-less isotropic antenna)，天線輻射會隨著一個球狀往外輻射，當天線的距離d=0，也就是把天線在同一點的時候，會出現一個令人困惑的結果，接收功率會比發射功率多3dB功率不守恆這種奇怪的結論？
當然這是不可能的，一定有什麼點自己沒搞明白，過程也用了目前幾個AI大模型Grok
3, ChatGPT GPT-4o與DeepSeek R1 (2025/2/24)，三個模型第一時間沒能問到可自己能理解或接受的答案，後來自己思考了一下也找了一些文獻後，修正提示詞再問答案至少有說服我這個天線陣列外行人，現在AI說實在真的很強大，搭配使用真的可以幫忙快住釐清思路，但還是要花時間去看輸出的結果，不然現在這階段有時候還是會繞圈圈輸出類似”這個問題的關鍵是要先找到關鍵的問題”這種乍聽之下沒有任何錯誤你還會覺得有點道理的回答，這問題自己覺得挺有趣的，就把過程寫下來說不定有人跟我繞到一樣的胡同裡出不來。
點波源天線Isotropic antenna
原本是要寫給對天線射頻不熟悉的朋友，所以我們先從點波源天線開始推導到兩個天線組成的天線陣列(N=2 antenna
arrays)，天線功能就是把傳導訊號輻射(Radiated)到空氣中，假設輸入訊號為I=I_rms*cos(wt+θ)輸入到一個點波源天線，天線阻抗為1Ω，點波源的天線是一個全向性天線，訊號以一個球面往外的傳遞出去，所以在距離D相等的位置下，觀測者會量測接收到相同的功率大小。
所以只要知道距離透過The Free Space Path Loss Formula可以計算出空氣中的路徑插損：
>IL
(dB) = 10*log((4πD/λ)^2)
其中D為距離(公尺)，λ為波長(公尺)，舉一個常見的例子WiFi與Bluetooth頻率2.4GHz、距離D=100公尺，套入公式計算一下插損約為80dB，因為距離走了D，所以與接收端收到的訊號相位與發射端會落後(D/ λ*2π)，但一般都是看訊號大小不會特別看相位差就是了。
舉例如果發射饋入訊號為I=1*cos(wt+ ϕ)
A，這1A為 RMS值，所以輸入功率為I^2*R也就是1W或10*log1000mW=30dBm，這時候發射與接收天線都是點波源天線，接收端只要是距離為D的位置量測到的功率皆為：
>30dBm-80dB=-50dBm
如果把整個距離為D的球面積分，也可以得到一個天線主要的輻射指標TRP(Total
Radiated Power)會等於饋入端功率30dBm，真空中的損失不是真的能量損耗在什麼物質上，天線只是把原本一個點的能量像一個氣球往外跨張[8]，這個氣球越膨脹越大單位面積能量會越小，但總和的能量是不變的，所以你可能會想到為什麼手機射頻工程師都要卡TRP這個指標，某個方向的天線能量夠不就好了？感覺也對但一般手機天線是單天線且接近全向性場型，實際場景也很難要求使用者把手機指向基地台方向，當然前陣子很紅的衛星電話是例外阿，所以整個性能指標還是會觀察TRP。
點波源天陣列N=2
那如果把原本的天線一分為二，原本1W的訊號拆成兩路分別給天線A與天線B，兩個天線一樣為點波源天線，阻抗一樣為1Ω，但天線沿著X軸擺放相隔距離為d，接收到收到來自A與B的功率理論上會不一樣，但假設距離D原大於兩個天線距離d，可以認為兩路的插損是幾乎相等，也就是說訊號源A或訊號源B獨字給1W的訊號，即使天線離原點有1/2d的偏疑，但整個輻射的場型能量大小可以視為相等，但相位就不能，類比訊號的相位疊加極端情況相差180度會形成破壞性干涉造成訊號抵銷，所以必須把相位差考慮進來。
兩個訊號的相位差可以透過訊號走的路徑差來換算，最後接收端C會同時收到A與B的訊號，把原本的單一點波源1W的訊號一拆為二，單位天線阻抗不變所以訊號源A與訊號源B訊號大小會變成1/√2*Irms，假設接收天線在XZ平面上，與X軸的夾角為"θ"：
>訊號源A: I=1/√2*I_rms*cos(wt+ ϕa+ θa)
>訊號源B: I=1/√2*I_rms*cos(wt+ ϕb+ θb)
>Ψ = ϕa- ϕa,
θa=- θb, θa- θb=2π/λ*d*cos(θ)=k*d*cos(θ)
一般天線課程都是用phasor來推導，但有些朋友對這個比較不熟悉，這裡就只用了正弦函數，有點類似電路學的觀點只是把兩個訊號在空氣中傳遞疊加，推導結果與化整有興趣的可以問一下AI模型，但結論是不變的，可以推導出天線理論課本的式子。
但說實在現在電腦這麼發達，把公式整理成漂亮的通解好像也只是寫教科書或論文好看一點，不然當n>2的時候的方程式，用肉眼第一時間其實也看不出來場型的樣子，anyway把結果用Excel
或其它工具描繪出來比較，這裡比較幾個典型的案例：
兩天線距離d為0.5λ：
Case 1: 訊號A為1rms*cos(wt)訊號B為0*cos(wt)
Case 2: 訊號A為1/√2*cos(wt),
訊號B為1/√2*cos(wt)
Case 3: 訊號A為1/√2*cos(wt),
訊號B為1/√2*cos(wt+180度)
下圖比較結果可以看出天線陣列的主要目的就出來了，在相同距離D下，調整兩個饋入訊號的相位，可以改變輻射場型將能量集中在特定的方向上，且功率會比單一點波源多3dB，這樣天線陣列的主要功能與目的都出來了，當天線數量更多的時候可以推測能夠控制的增益與指向性會更高。
>指定方向(Beamforming)
>功率增加(Gain)
天線陣列N=2, d=0的條件
如果把天線的距離d擺放的很近很近直接縮到一個點上d=0，帶入公式整個輻射場型會變成一個全向性天線，但這裡出現一個問題點，鋒值功率等於33dBm，這結果感覺比在那邊調整相位來的有收益，增益一樣而且還是全向性，但等等如果是全向性且鋒值功率都為33dBm，那整個球面積分TRP就會等於33dBm，這超過輸入功率1W
30dBm了，這多出的1W難道是用愛發電了？
>Case
IV: 訊號A為1/√2*cos(wt),
訊號B為1/√2*cos(wt)
再仔細研究一下結果33dBm這結論似乎沒有問題，如果相位相同兩個點波源在同一點，所以傳波到C位置是兩個相位與振福相同的波疊加，等於是voltage sum/current sum功率增益會比2倍3dB再多出3dB出來。
如果把兩個訊號設定成相差180度，也會得到一個很奇怪的結果，如果兩個訊號相位相差180度，那在接收端C理論上會收到一正一反的波疊加，理論上遠場都不應該量測到任何功率，也就是TRP會等於0W -∞dBm，但輸入功率還是0.5+0.5=1W
30dBm那功率跑哪去了？
Condition:
ϕa= ϕb
輸入Ptx = 0.5+0.5=1W
輸出Prx = 1W
Condition:
ϕa= ϕb + π
輸入Ptx = 0.5+0.5=1W
輸出Prx = 0W
AI小助手
現在AI大模型很方便也很強大，剛好這時候X.AI 推出Grok3可以免費使用，就問了一下目前幾個主流的大模型Grok3, GPT
4o與DeepSeek R1，但使用當下(2025/2/24)嘗試過幾個問題問法都沒有問到理想的答案，都是差點意思的答案，以下擷取三個模型的部分答案，當下用下來個人覺得Grok 3輸出結果是目前最好的，而且頻寬大反應速度也快，真的是財大氣粗頻寬算力都比別人大，DeepSeek現在常常問兩句就掛了，所以就比較少用，但幾個模型都還不錯，目前這個還是建議交叉使用看看結果差異會比較好，雖然沒有直接能回答我的疑惑，但整個回答過程的確能給你一些啟發，但還是要花時間看結果，例如過程中GPT
4o就有發現一個明顯的錯誤。
>Grok
3: 非輻射損耗(如互耦或反射)，系統功率守恆成立
>DS
R1: 當相位差導致輻射功率為零時，輸入功率需相應調整(例如反射或熱損耗)
>GPT 4o:
大部分功率進入了近場(非輻射區)，形成強烈的儲存電磁能量(反應能)，或通過互耦，反射返回到原端(例如產生反射波)
透過與AI討論的過程，讓我聯想到之前在思考Power Sum與Voltage/Current
Sum[9]的問題，到底兩個相同功率疊加是3dB還是6dB，先抓住能量守恆這個鐵則，從AI給的的一些提示詞是不是類似功率放大器阻抗合併的機制[10][11]，阻抗是會被調變的？所以按照這個關鍵字搜尋”antenna array input impedance”搜尋，找到了一篇論文Study of Impedance Matching in Antenna Arrays [12]內容就是在探討天線陣列輸入阻抗的變化，用這個提示詞再問那效率就比較高了，例如Grok 3給出的參考如下。
但說實在細節還是要自己花時間自己閱讀，但至少可以在不同模型與搜尋得到antenna
arrays input impedance是會動態變化，原本的固定的輸入阻抗會受到天線陣列其它天線的影響，回到原本的問題如果天線輸入阻抗會受到其它天線單元疊加的影響，功率守恆是不變的原則，這裡用current
source的觀點切入，那阻抗就會變調變成2Ω與0Ω，直觀上好像沒什麼問題，當訊號反相，負載電壓與電流為0，所以計算起來輸入端應該看到負載為0，但實際天線陣列主動阻抗（(active
impedance)正確的公式就沒特別去找原文來讀，所以如果朋友如果覺得那裡怪怪可以在交流看看。
Condition:
ϕa= ϕb
Zin
= Vload/Iin = 2* Zload
輸入Ptx = I^2*Zin *2 = 1.0+1.0=2W, 功率守恆
Condition:
ϕa= ϕb + π
Zin = Vload/Iin = 0
輸入Ptx = I^2*Zin *2
= 0.0+0.0=0W, 功率守恆
心得
現在AI真的很強大，是個很好的工具，但因為AI懂得比你多，又不能保證完全正確，所以很容易一臉正經的給出答案你如果不花時間也很難判斷對錯，如果錯他也只是AI式回答”你說的沒錯，讓我在思考一下……”，所以現階段給出的一些結論最好找到課本或論文原本出處，在交叉比對學習一下，過陣子說不定有終極版的AI例如機械公敵I, Robot的超級人工智能Viki出現。
參考文獻
[01]
Alex Chou, Rohde-Schwarz,
Rapidtek Technologies Inc., “LEO Phased Array Antenna Design - A Case
Study”
[02]
muRata, 将可向2个方向进行电波放射的毫米波5G小型天线模块商品化～为5G对应终端的稳定通信、小型化和降低成本做贡献～
https://www.murata.com/news/connectivitymodule/mmwave-rf/2021/1013
[03] Analog IC Tips, Blog, “mmWave antennas and
antenna management for 5G”
https://www.analogictips.com/mmwave-antennas-and-antenna-management-for-5g/
[04] 陳士元, 台大電機系暨電信所,
YouTube開放課程, “天線陣列理論”
[05] Yen-Sheng Chen, 台北科技大學,
YouTube開放課程, “天線基礎 - 無線通訊系統的基頻模組”
[06] Jill Tarter, YouTube課程,
“Applied Electromagnetic Field Theory Chapter 32 -- Antenna Arrays”
[07] Developed and curated by the Ansys Education
Team, “Basics of Antenna Arrays”
[08] 射频讯号频率越高传播距离越短？天线插损公式Friis
Formula频率f/波长λ的系数呢？ - MacGyFu的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/653842322
[09] 身为射頻工程師的直覺，两个相同功率0dBm与0dBm合并，功率会多3dB为3dBm…对吗？重新认识(Wilkinson)功率分配/合路器 - MacGyFu的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/625776443
[10] 认识Doherty放大器前你应该先认识什么是PA负载调变Load Modulation 之 X英雄传 - MacGyFu的文章
- 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/634307250
[11] 手机功率放大器功率合并的方法Smart
Phone Power Amplifier Power Combination Method and Architecture - MacGyFu的文章
- 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/639056460
[12] Irfan Ali Tunio “Study of Impedance Matching in
Antenna Arrays”, Electronics. UNIVERSITEDE NANTES, 2020.
