多重反射Multi Reflection : Z拆成Z1+Z2會有多重反射嗎? 換個角度計算串聯網路等校反射係數Γ

 　　反射反射再反射，RF射頻電路常會聽到兩端阻抗不匹配會有訊號會反射造成訊號疊加，之前這文章也寫過這文章[1]，但多重反射這觀點有時候還蠻容易讓人困擾。

        今天用一個簡單案例看看是把事情複雜化還是間單化，如下圖ZL=150Ω，Zs＝50Ω利用熟悉的反射公式可以輕鬆地計算Γ = 0.5, 也就是-3dB，但如果我們把ZL拆成ZL=Z1+Z2，例如Z2=50Ω與Z1=100Ω，訊號一樣是1傳到第一個Z2反射然後訊號再繼續傳到Z1，反射後再遇到Z2然後一部份訊號再反射回Z1…….多重反射(Multiple Reflection)是這樣用的嗎？

S參數

　   繼續之前我們先複習一下S參數，上面的結構我們可以把Z2變成一個2 ports的S參數，串聯或並聯電阻，電容或電感微波工程的課本都有提到[2]，實際上這網路可以是模擬計算或量測得到，都無所謂最後就是一個2x2的S Matrix。

無長度傳輸線Zero Phase Transmission Line

       無論是量測得到或計算得到S參數，有一個很重要的觀點，有時候覺得天經地義但容易被忽略，Z0特徵阻抗Characteristic Impedance，一般都是用50Ω，所以一個串聯50Ω的S參數是有一段你看不見的50Ω傳輸線。

多重反射(Multiple Reflection)觀點

　　讓我們再來思考這個已經知道答案ZL=150, 拆成Z1+Z2的Case，訊號入射後，第一次反射S11，然後S參數入射訊號S21繼續往前走到ZL遇到反射，注意這裡的ΓL是ZL與Z0　（沒有長度的傳輸線），然後又有S22的能量反射回ZL…..

然後就是反射再反射，入射再入射……反射再反射，入射再入射.......

       最後我們可以計算全部反射回來的訊號Γ = S11 + S21*Γ*S12 + S21*Γ*S22*Γ*S12 + ………..

        如果S22*Γ ＞=1就會發散成無窮大，可以猜到為什麼會震盪了吧，我們考慮＜1的案例可以變成以下公式，如果想要知道更詳細的推導可以參考[3]微波工程Microwave Engineering搜尋相關字就可以找到。

 

　　拆幾個組合來計算一下會得到都會得到相同的答案，這好像是幹話不一樣就有鬼了，當然大家可以想一下到底這多重反射是物理上實際發生還是只有發生再數學運算上面？

參考平面轉移

　　上面這公式可以應用在很多地方，例如如果一個功率放大器接著一個天線的阻抗，天線阻抗會隨著使用環境變化是不固定的，但中間的經過路徑是確定( Switch, Filter, Trace, SMD…)，大部分案例會努力的匹配到50Ω，所以就會剩下S11/S22 ~ 0 (-15dB其實已經是很小的能量)，S21/S12 = 0.5 (6dB Loss)。

        用兩個極端的Case ZL最大1000Ω與最小2.5Ω，經過參考平面轉移可以觀察到會縮到最大79.5Ω與最小31.5Ω，如果負載是個功率放大器，那功率放大器的負載變化就會從Γ 0.9縮小到Γ 0.23，特性比較不會有波動或比較不會燒毀(Ruggedness over VSWR)的原因。

　　至於剛剛提到這反射到底是物理現象還是數學模型，這個常在高速數位訊號SI (Signal Integrity)出現討論，這就留個伏筆之後有機會再想了。

參考文獻

[1] 電路學Electric Circuit與微波工程Microwave Circuit看阻抗匹配 http://emilymacgyfu.blogspot.com/2011/12/blog-post.html

[2] F. Caspers (CERN), RF engineering basic concepts: S-parameters https://arxiv.org/abs/1201.2346

[3] David M Pozar, Microwave Engineering.