最近在看放大器穩定性的問題，無論哪一種震盪方式其實都可以用回授放大器的概念來解釋，原本一個在熟悉不過的回授放大器穩定條件，Closed Gain = A/(1-𝛽𝐴) 分母(1-𝛽𝐴)不能等於零不然增益會無窮大，變成不收斂。
剛好前陣子在複習多重反射Multi Reflection[1]的時候，用多重反射的觀點計算一下，也想說如果有一個理想系統block，給一個初始值然後開始跑，假設Vout初始值為0 (可以為任意常數)，Vin保持不變，如果𝛽為0，那整個等校增益為A，但如果𝛽不為零算到最後可以得到一個熟悉但在分子確多出一個不熟悉(𝛽A)^n。
從這個loop gain結果，收斂的條件必續要滿足迴路增益𝛽𝐴<1，這樣n無窮大的時候(𝛽A)^n才會等於0，否則輸出會發散。
Stability Condition : 𝛽𝐴<1
Case 1: A=10, 𝛽=0.04 𝛽𝐴=0.4, Loop Gain = 16.66
負回授 𝛽為負且𝛽𝐴 ≥ 1不穩定?
如果另𝛽A= -1會有什麼結果，因為最後(𝛽A)^n會因為n為偶次或奇次在1與0之間跳動不收斂，最後我們觀察Case 3的結果如下，跟公式推導一樣會不穩定。
Case 3: A=10, 𝛽=-0.1 𝛽𝐴= -1, Loop Gain = 10, 0 之間跳動。
熟悉的負回授放大器
我們在翻開電子學課本或參考[2] Loop Gain and its Effect on Analog Control Systems，在講OP負回授放大器增益過程如下，推導過程假設最後系統穩定在否個狀態，注意這句話，系統最後是穩定的狀態。
加入類似低通的數位濾波器T(n)
想到最後我自己找了一個收斂且在合理的理由，因為在計算無窮迴圈的時候當Vin有變化的時候，Vout是加設瞬間反應，但瞬間反應在真實世界目前還不存在，等於是完全沒有電阻與電容，那如果在過程中我們加入一個Low Pass Filter的響應函數T(n)，數位濾波器之前有提過有興趣可以連結過去瞧瞧[3] 從零開始學習筆記: TWS+ ANC 真無線與主動式降躁藍芽耳機，複習一下訊號與系統之FIR Filter 。
T(n)是個延遲函數，概念是禁止Vout瞬間變化，變化過程會與上次狀態Vout[n-1]比較除一個大於1的係數𝛼，當𝛼越大也就是每次變化的幅度太大系統會限制大幅度的改變，這就跟RC低通電路行為很像。
用剛剛Case 4的例子加入了𝛼，這時候𝛼邊界值為1.025，分別描繪了𝛼=1.025, 𝛼=1.05, 𝛼=1.1與𝛼=10的收斂狀況，當設定𝛼夠大(10)的時候，收斂的時間會拉的越久，但輸出不會來回跳動，會呈現一個平滑的曲線，但𝛼越接進臨界值輸出就會越不穩定，這有沒有讓你想到PLL的Loop Filter 阿。
最後數值會收斂到Loop Gain的公式 A/(1-𝛽𝐴)，其實也不難理解，但不好計算，這個就算了吧。
未完待續負回授放大器Aβ≥1真的穩定?
整串算完總覺得有些點對不起來，如果用無窮迴圈也就是用一個間單的訊號流迴路(Signal Flow)，或你要用程序來描寫這個系統，跟類比回授放大器Analog Feedback遇到βA≥1就會遇到收斂的問題，雖然用直觀來想像電路"穩定"的解必然要滿足Closed Gain = A/(1-βA)，但如果有個理想的系統模型疊代用了QucsStudio也是得到無法收斂的結果，必須要滿足βA<1才能得到收斂，不知道運算放大器模擬器是怎麼跑暫態響應的? 應該沒這各問題才對，但這話題太大了，雖然說未完待續，但我想應該沒有後續了。
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