談到射頻功率放大器(RF Power Amplifier)大概都會講到這本書PA聖經[1]Steve C. Cripps, RF Power Amplifiers for Wireless Communications.，或從這本書中延伸出來的內容，但有時候在閱讀的時候作者本身懂太多，有時候會突然說因為A然後B最後得到.....Z!!!! 中間的C, D, E都不見了，有時候讀覺得應該是這樣，一陣子後就會覺得怎麼會這樣，一直循環下去，想說趁覺得應該是這樣的時候把一些點寫下來。
射頻功率放大器都會講到
負載線理論(Load-line Theory)與
Load-Pull等輸出功率圓(Power Contours)，會解釋上大多會用Pure Resistance Load純實部負載當作例子，如下圖讀過的都不陌生一個直線的負載線Rload，但在看其他的文獻的時候常常會出現動態負載(Dynamic Load Line)這種非直線的橢圓形負載線(elliptical IV trajectory)[2][3][4][5]，每次看都會覺得恩恩就這樣啊但真的往下想就很容易卡住。
Complex Load 電流與電壓的關係
要解釋為什麼Dynamic Load會是橢圓形或到底是順時針轉(Clockwise) 還是逆時針轉(Counterclockwise)就要先複習一下電容與電感電流與電壓的關係，詳細的內容當然要回去翻翻電路學的課本或參考EE狂想曲的網誌[5]。
一個由電阻R、電感L與電容C組成的複數阻抗Complex Impedance都可以寫成表示成以下的式子
Z=R+jX， X可以是任意實數，但如果是計算上習慣會用
Z=A∠θ表示，所以如果實部阻抗R串聯電感(Series Inductor) jX為正數輸入阻抗會呈現電感性Inductive Load Impedance θ為正，如果是串聯電容(series capacitor)jX會為負數，這時候整體阻抗會呈現電容性Capacitive Load Impedance θ為負數。
這時候就可解出電壓，電流與阻抗的三角關係V=Z*I or I=V/Z，但因為是複數阻抗，所以當jX為零的時候也就是一個純實部阻抗(Pure Resistance)，電壓與電流會同相沒有相位差，也就是θ=0。
Inductive and Capacitive Load Impedance IV Curve
如果是電感性負載jX X>0的條件，因為Z=A∠θ 為正，所以I = V/A∠-θ 所以一般會聽到
電流I比電壓慢θ，如果是極端狀況純電感性負載Inductive load impedance也就是R=0的條件，θ = -90 deg, 也就是
電流比電壓慢90度 current lags voltage by -90，下圖是一個實際模擬例子，負載為一個實部阻抗R = 1 並聯一個160nH, 訊號源為1kV的正弦波訊號，所以等校上jX = j1. 這時候可以看到IV curve，電流的峰值peak會lag 45deg。
電容性負載Capacitive Load Impedance則與上面相反，如果是一個正弦波訊號
電流的peak會比電壓的Peak提前θ發生(current leads voltage by θ) ，如下圖例子串聯160uF電容，在1kHz會等於Z= 1-j1。
Dynamic Load Line Trajectory
複習完Complex Load IV Waveform，我們就可以來觀察Dynamic Load Line為什麼從一條線
變胖變圓成一個橢圓軌跡，先來定義一下什麼是Dynamic Load Line 動態負載線，從[4]的說明檔"
The dynamic load line measurement is used to plot the dynamic I-V trajectory on a rectangular graph."。講白一點就是把Time Domain I and V Waveform 轉換到 IV Curve (IV Constellation)，有點類似EVM IQ constellation一樣。
所以一個純實部(Pure Resistance)的動態負載線會沿著R直線移動，
而且相同電壓會對應到相同的電流，也就是下圖point 2, 4是相同電壓點，對應到的電流也會相同。
我們以剛剛的電感負載Inductive load impedance 為例子，在Time Domain IV curve上面標出1, 2, 3.....9個點的相對位置，這時候可以發現V1 = V5, V2=V4, V6=V8這幾個點
電壓相同但是電流卻不相同，依序把每一點標示在IV Constellation劃出軌跡，這時候我們會得出一個
順時針橢圓形的動態負載曲線Clockwise Elliptical Dynamic Load Line，當然如果負載本身是電容性負載Capacitive Load Impedance就會得到逆時針動態負載線。
以上是A類放大器的例子，一些更進階高效率的放大器例如Class F IV Curve or Inverse Class F會長的更奇怪一些，有興趣可以延伸閱讀Qorvo的這一篇文章[
6]，另外Class F真的很特別，下次再來複習吧。
Smith Chart 簡單概念
在提到Load-Pull Power Contours前，為了避免有路過的朋友不知道什麼是Smith Chart所以先簡單提一下，Smith Chart是個座標工具，剛剛有提到任意阻抗都是由一個實部與虛部組成Z=R+jX，所以我們可以用一個二維的笛卡兒(Descartes)座標軸上劃出任意阻抗，但射頻功率很常要處理阻抗匹配，比方說電感inductor 在低頻的時候X會為趨近0, 但高頻的時候會趨近無窮大∞，所以我們用一般的笛卡兒坐標系不容易描繪，Smith Chart透過阻抗轉換讓0到無窮大∞壓縮到一個圓形坐標系，每個圓是個等實部圓，所以在同一個等實部圓上面移動Z=R+jX的R是固定不變的。
Load Line Theory Boundary Condition
負載線理論當中很重要的一個假設是
電壓V與電流I有其上下限Vmax, Vmin, Imax and Imin，在這個負載上面無論的電壓與電流都會限制在這個邊界裡面，所以我們假設下面一個例子，Vmax=4V, Imax=10A, Vmin與Imin都為0，這時候我們可以計算出最佳的Ropt=0.4Ω，此時的功率輸出為P=IxV=4x10A=40W。
R < Ropt
如果負載除已一個係數𝛼=2, 這時候負載會變小成為0.2Ω，因為不能超過Vmax or Imax, 所以當負載比最佳負載Ropt來的小的時候Rlo < Ropt電流會先到達Imax, 這時候我們可以算到電壓大小為V=IxR =10x0.2=2V, 會比原本4V來的小，所以功率輸出只剩下20W。
如果這時候在串聯虛部阻抗jX，此時輸入端的的阻抗會變成Z=R+jX=A∠θ，所以最後的
A>=R，也就是輸出端點的電壓振幅會等於Vmag=I x A, 電壓Vmag會一直增加一直增加直到....頂到Load Line的邊界為止也就是Vmax，所以我們可以得到一個邊界條件Xmax如下。
此時的最大功率電流的變界會先到達Imax，所以最後網路要滿足KCL定律，流過實部阻抗R的電流也是Imax，所以最後整個網路消耗的功率會與實部阻抗R的乘積，所以在R±Xmax的軌跡內，最大功率輸出都是20W, 注意這裡是Psat並非Gain。
那jX一直增加超過Xmax的時候會怎樣? 這時候Imax就無法再維持住，因為Voltage Swing V振幅在電流還沒增加到Imax之前，Vmag = I x A就會先頂到Vmax，所以這時候功率會開始變小 < 20W，無法再維持20W的輸出功率。
R > Ropt
這時候如果負載變成原本的兩倍 Rhi = 𝛼 x Ropt = 0.8Ω，這時候結果就會與R < Ropt的結果相反，這時候電壓會先頂到Vmax的邊界，所以這時電流Imag= Vmax x G, 所以計算過後功率大小也會剩下20W, 這個結果與Rlo的結果一樣，所以當Ropt有了，決定一個係數𝛼，可以得到兩端點的功率分別都會下降𝛼倍。
Smith Chart在剛剛提到有等實數阻抗圓外，另外一個阻抗的標示法是導納Z vs Y，這兩個其實就是一個互為導數的關係，但在處理並聯的情況下會比較容易，用法就如同等阻抗圓一樣，當並聯一個電納jB會沿著等導納圓移動，
另外jB的正負號會跟jX軸相反。
這時候我們可以用一樣的方法計算出Bmax，當B增加等校的Y = G+ jB =A∠θ A振幅會增加，也就是流入網路的電流會增加，但最後一樣會等到Load Line的邊界條件Imax與Imin, 所以我們可以計算出Bmax的邊界。
所以在Y=Ghi+jB這個軌跡上面，jB往上走到-jBmax往下走到+jBmax這個區間內，電壓的振幅Vmag會先頂到邊界，所以在這區間實際消耗在
實部G的功率都會等於20W.
Closed Curve?
剛剛計算兩個等功率點的曲線Ropt 𝛼與1/𝛼 會分別壓到負載線的電壓與電流的邊界，但計算到最後這兩個點是否會相等?
Z與Y是互為導數的關係，把剛剛計算的結果算出來可以知道最後Rlo+jXmax與Ghi+jBmax邊界會是同一點，最後形成一個封閉的曲線，也就是在這個曲線上面，功率輸出都是相同的。
今天Power Amplifier Load-Line Theory就到複習到這裡了，這次複習其實還聯想到Load-Pull的頻率響應影響，因為以上的討論與計算都是用Z=R+jX虛部阻抗，但實物上如果是一個LC的匹配網路，以電感為例jwL本身 Z(w)會有頻率響應，在現在通訊頻寬動不動就20MHz, 甚至到100MHz，這會有另外一個小問題就是頻寬頭尾的阻抗可能會差異很大，另外還有延伸Class F Power Amplifier Harmonics Impedance Waveform Shaping與效率的問題。
Reference 參考文獻
[1] Steve C. Cripps, RF Power Amplifiers for Wireless Communications.
[2] Andrei Grebennikov， Nathan O. Sokal， Marc J Franco, Switchmode RF and Microwave Power Amplifiers.
Page 17.
[3] Fadhel M. Ghannouchi， Mohammad S. Hashmi, Load-Pull Techniques with Applications to Power Amplifier Design,
Page 4.
[4] NI Microwave Office Guideline, I-V Dynamic Load Line:
IVDLL,
[5] EE狂想曲,
電容和電感的電壓電流關係
[6] Dr. Larry Dunleavy,
Qorvo, Model-Based GaN PA Design Basics: The What and Why of Intrinsic I-V Waveforms
