在評估一個接收機系統一定會計算過多級串接雜訊指數Cascade Noise Figure，裡面會提到有差損的Noise 元件例如Band Pass or Switch 增益就等於差損Insertion Loss (I.L.)在加個負號，雜訊指數Noise Figure也等於差損I.L.，但如果是一個無損的電容Capacitor呢? 這個在之前[1] 讓人腦子發燒的 thermal noise kTB簡單的討論過，因為一個無損的元件既然沒有損耗，也不會有所謂的等校電阻R，那也就不會有所謂的Noise Power (kTB)產生了。
等校Noise Figure: 3dB衰減器與一個理想電容S21=-3dB
下面一個簡單的串接系統，先串一個3dB衰減器然後在串聯一個理想電容Ideal Cap，這電容值設定在測試頻率下S21=-3dB, 那整體的Noise Figure如果我們用熟悉FRIIS' Formula帶入參數可以算出等校的雜訊指數Noise Figure，因為理想衰減器的Gain/IL都會是-3dB, 所以在計算上面G1並沒有什麼疑問，後面的電容如果Noise Figure為0dB, 帶入計算可以算出整體的Noise Figure為3dB。
我們顛倒一下順序，先串接電容Cap然後在串聯3dB衰減器，那電容的G1到底要用Available Gain 0dB或是Transducer Power Gain S21 -3dB，用這兩個條件會得到兩個答案 NF = 4.75dB與NF = 3dB，這兩個數字哪個對好像有點難選?
Noise Power/Noise Temperature 計算方式
這裡先回憶一下Noise Figure NF的定義，Noise Figure = SNRin/SNRout 輸入訊號雜訊比除以輸出訊號雜訊比，且輸入訊號為Ni為kTB T=290K，也就是大家耳熟能響的-174dBm/Hz，所以我們只要能夠測量到輸出的Noise Power No與增益(Power Gain)就能夠算出整個系統的雜訊指數Noise Figure，透過簡單運算我們可以得到Na, Ni, NF之間的關係，且可以把任意Two Port網路DUT化簡成一個理想無雜訊的放大器，雜訊Na是在左側輸入端有個加法+器合併輸入。
下圖我們利用訊號流的概念，分別算出 So與No，然後計算SNRout與SNRin後先減後可以得到NF=4.76dB，這個答案跟用FRIIS' Formula套用電容增益Gain為-3dB得到的答案一致，但結果對嗎? (這裡賣各關子當然是不對請繼續往後看喔)
雜訊功率向左走向右走: 失配網路雜訊功率反射Noise Power under Mismatching
試想如果把一個衰減器或電阻放在一個溫度290K的環境下，接上無損理想的傳輸線，兩邊分別接著理想的頻譜分析儀量測雜訊功率大小，本身頻譜不會產生任何熱雜訊干擾量測結果，如果是一個50Ω 任意衰減值兩端頻譜理論上要量到-174dBm/Hz，左邊與右邊的雜訊能量理論上會相同。
從上面的思考一個衰減器等校網路應該要從左邊到右從右到左都要是對稱，這樣兩端才會量測到一樣的功率，另外雜訊功率計算上也符合整個訊號流的計算，所以在兩端都是50Ω情況下，Noise Power 往左與往右的功率流並不會反射，也就是ΓS與ΓL等於0。
一個理想的電容S21 = S12 -3dB, 功率守恆的條件下可以得到S11=S22=-3dB，我們把原本的計算在考慮了一個來自衰減器右邊的雜訊NF=3dB所以Ni = -174dBm/Hz (以下簡稱-174dBm)
1. 經過了衰減器本身3dB的衰減所以雜訊降低到-177dBm
2. 碰到電容因為失配(Mismatching)只有-180dBm進入了電容網路，有-180dBm反射回去。
3. 反射的功率又經過衰減器網路3dB所以能量出來剩下-183dBm.
這個與原本計算相比會多出了-183dBm，整體雜訊輸出功率會相差
原本雜訊功率: -180dBm+-177dBm=-175.24dBm，NF = 4.76dB
失配雜訊工率: -180dBm+-177dBm+-183dBm=-174.57dBm，NF=5.43dB
兩者相差0.67dB。
模擬軟體驗證 QucsStudio
我們用QucsStudio協助驗證結果，整個搭建如下，ac simulation把Noise選項開啟，可以直接去探測每個杰點的平均雜訊電壓與電流，結果可以得到輸入功率為-173.98dBm，電容前為-175.21dBm, 電容到衰減器之間為-175.21dBm，最後頻譜量測到的功率為-174.55dBm，這結果與手動計算考慮失配的條件下幾乎是相等的。
那原本串聯公式什麼況下才成立? 這問題其實很簡單，只有在沒有每一級之間沒有失配/Mismatching的條件下，我們可以在模擬器每一級之間放入理想的環形器ideal circulator ，環形器會把反射的的功率吸收到Port 3，但這裡要注意一下吸收Port的負載電阻Termination要設定成0K，不然本身電阻也會產生雜訊並且傳送到Port 1.
其實剛剛整個計算都可以用Signal Flow的概念，可以參考之前的文章 [2]
Signal Flow Self-Loop，訊號流, 自迴圈，天線阻抗平面轉移來計算思考，這裡我節錄[3]
QucsStudio, Technical Documentation. 5.3 Noise Wave Correlation Matrix in CAE章節的內容，雖然我們可以透過Power Loss來判斷是否有電阻損失在網路裡面來判斷這個實際會貢獻的Noise Figure，但在網路上會有一個跟S參數長的很像但獨立的參數帶入才能夠計算跑，有興趣的可以自己下來看看。
低雜訊放大器模型: 衰減器+無雜訊放大器
如果我們實際量到一個Low Noise Amplifier 增益為28dB，雜訊指數為2dB，我們可以有兩個系統模型Model 1就是一般課本常見模型，Model 2是我們用一個理想的放大器與一個衰減器來組成，兩個都會得到一樣的結果 Gain = 28dB，NF = 2dB，兩個在系統上是分不出差異。
驗證這個模型我們用了以下兩個Case來驗證，分別在LNA輸入端串聯10dB衰減器與一個串聯的電容實際量測-10dB 分別用Y factor方式量測出Gain與Noise Figure與Noise Power。
分別用Y Factor (Noise Source)與Cold Source 直接量測Noise Power，輸入端串聯10dB衰減器可以NF兩個量測方式都可以得到~12dB，但我們要討論的是Cap+LNA串聯一個S21=-10dB的量測結果Noise Figure分別為:
Y Factor方式: 10.8dB
Noise Power方式: 10.45dB
用Model 1計算出來的NF為8.36dB，用Model 2計算出來的雜訊指數為10.1dB，與實際量測情況相比Model 2結果比較接近，這其實會回到失配下的問題， 低雜訊放大器輸入端會不會有熱雜訊輸出? 沒有其實比較奇怪只是有多少雜訊輸出而已，在兩端網路都是匹配下是沒有任何問題的，但如果是失配的情況下整個RX Link Budget NF估算就會變大。
模擬表格有顯示NFmin這個參數，可以看到無論是哪一種模型計算，最後NFmin都是2dB，也就是回到LNA本身的雜訊指數，這個呼應了無損電容本身NF=0dB的物理含意，這些NFmin, Sopt and Rn是什麼意思，這是比雜訊指數NF更高尚一點的描述參數Noise Parameter，可以在Smith Chart上面畫出Noise Circle......這個有空下再聊了。
