微波共振電路，微波能量桶 LC Tank， 弦波Sine Wave與自然數e

        阿共振了，LC共振頻率為根號LC分之一所以..............，從大學開始到出社會工作，Microwave Engineering 微波工程這本書就一直跟著我從台中(大學)到嘉義(研究所)，再從嘉義到台北工作然後到新竹，裡面很多內容以前看不懂，現在也是看沒很懂的經典工具書。

        LC共振可能是RF工程師日常對話中最常出現的Top5吧！無論是串聯諧振Serial Resonator或並聯諧振Parallel Resonator，都可以很直覺的寫出Zin的公式然後令存儲存在電容上面的電能We與儲存在電感上面的磁能Wm相等就可以推導出共振頻率ω。

並聯LC共振腔 Parallel LC Resonator

       但共振時兩個儲存的能量要相等? 這不是理所當然嗎? 好吧其實我也不清楚自己念書的時候有沒有搞懂? 但我們先從RF工程師熟悉的Zin(ω)頻率阻抗下手，如果只有並聯電容，當頻率很低到接近DC的時候，會有最大功率轉移，如果只有只有並聯一個電感，當頻率無窮大的時候，會有最大功率轉移。

        但如果電路上面是LC Resonator的形式了，先不管為什麼共振時電容與電感儲存的能量會相等，測試振幅大小頻率不同的訊號落在共振腔上面的電壓大小，與原本1. 只有電容的時候頻率要接近DC才有最大功率轉移與2. 只有電感的時候頻率要無窮大才有最大功率轉移相比之下，從數學式上面可以觀察到在特定的頻率下會剛好有最大的功率轉移。

RF工程師視角看並聯LC共振腔

        身為RF工程師很快的就能算出Zin在共振時後會無窮大∞，所以等校上LC會消失看不到這電路，但如果消失那電容的電能We與電感的磁能Wm怎麼相等呢? 或怎麼會有能量跑到電容與電感裡面呢?

        這裡舉一個簡單的例子如下，LC共振頻率100Hz，C1=0.2533mF, L1=10mH，Vs = 20V*cos(2𝜋*100Hz) Sine Wave，頻率為100Hz，因為LC共振，阻抗無窮大，R2上面的電壓會是Vs的一半10V*cos(2𝜋*100Hz)。

        那我們觀察一下C1與L1上面電流的Waveform，R2上面的電流為藍色線，透過歐姆定律可以計算出I = 1V*cos(2𝜋*100Hz)，也可以觀察出來電流I@L1等於I@C1=1.6A*cos(2𝜋*100Hz)，
恩與書本提到共振時後We=Wm一致。

等等......
不是阻抗無限大嗎? 
不是應該看不LC resonator嗎? 
這電流怎麼來的?

LC Tank 微波油罐

        這裡在R2與LC Resonator之間加了一個小小的電阻R3觀察流入LC Resonator的電流，在系統開始供電的時間(~20ms)時間，電流會灌入LC 共振腔後，之後電流就為零，LC共振腔似乎有接跟沒接是一樣的意思，這就符合RF工程上面常提到的共振所以阻抗無窮大看不到它的存在。
        但一開始灌入的電流(能量)呢? 就被困在共振腔裡面，在電感Inductor與電容Capacitor之間能量互相換來換去存儲在裡面，所以也才有LC Tank這個稱號。

       共振在大自然界很常見，外面頻率與LC Tank相同的時候容易捕獲能量，就是一種進去了就出不來的概念，現在無線充電另外一支線磁共振耦合(Airfuel標準)這是利用這樣的原理。

LC Natural Response 弦波Sine Wave

       接下來再往大一的課程走去，上次複習儲能元件電感，電容電感與電阻不一樣並非線性變化，電壓與電流的積分與微分式如下，電容與電感都是儲能元件，電容儲存電能後，對電感放電，這是一個經典的電路學與微分方程應用的問題。

        利用KCL我們可以寫出一個二階的微分方程(2nd order)，後面就勾起拉氏轉換拉拉拉拉然後得到，這裡可以參考[[2] YouTube Dr. Montgomery Circuits I: RLC Circuit Response或[3] Khan LC natural response - derivation假設R=0的狀態。

        當然最後計算過程就是工程數學的技巧，以前看著解答嗯嗯嗯今天看不懂解答在寫什麼嗯嗯嗯，但是一定會知道它的解是由自然對數指數e組成，由熟悉的Euler's 公式，可以拆解成cos(t)+jsin(t)的特性，可以猜出電壓與電流會是一個純Sine Wave且頻率為LC開根號的倒數。

        [4] 儲能元件電容與電感，電感能像電容一樣先充電等一下再用嗎? Energy Storage Passive Elements Capacitor and Inductor 在探討電容儲能問題，把負載改成電感，數值如上的條件C1=0.2533mF, L1=10mH. 共振頻率為100Hz。

        行為S1先對C1充電到5V然後斷開後0.1s 開關S2連結L1放電，最後的結果V(t)=5V*cos(2𝜋*100Hz)，一個純100Hz的Sine Wave弦波產生了，Magic DC一秒變弦波當然實際上LC Resonator會有損耗，實際狀況振幅會越來越小，所以需要放大器不斷的注入能量，例如常見的Colpitts Oscillator。

Euler's Number 自然指數常數 e 2.718281828...

        微分方程在計算指數函數的時候，一切一切的關鍵都是這個基數為e的指數函數，最後把sine wave (sin(t) cost(t))整個牽連再一起，在學微分方程的時候通常會直接把一下關係式背下來，e的指數函數微分會等於自己。

        那為什麼e = 2.718281828...這麼特別，e為什麼叫做自然指數，我的印象中就是從複利公式的計算上得到[5] YouTube 李永樂老師講自然對數的底e ，然後就說細菌的複製1變2，2變4...自然界的增長都是有這個規律，說實在我實在沒辦法理解。

        後來看了[6] 3Blue1Brown What's so special about Euler's number e?還有[7] ShannMath 自然對數與一般指數的微分 才有喔原來如此的感覺，快速過一下影片的內容，例如M(t)為基數2的函數對它微分，從微分的基本定義出發我們可以導出微分後會等於函數等於自己乘上一個常數。

        這個原則可以套用在任何實數的指數，C與對應的係數K做圖可以知道在有一個實數對應過去的K會等於1等於1等於1，這其實也就代表如果以這個實數為底無論微分幾次都會等於自己。

        當然這個數就是2.718281828......一個無理數e，到這裡還不能說明它的重要性與為什麼叫做Natural Number的理由，透過指數的數學關係，可以把任意的實數都改寫成e為基數的函數，這是很"自然"的動作，這樣的轉換並沒有變動函數的任何特性，只是這樣的轉換可以讓指數函數在微分與積分的過程中還可以觀察出原本函數的根是什麼，這麼說其實蠻有道理的，你沒有改變真理你只是改變觀察的角度，很推薦中央大學單維彰教授的線上課程，有空的時候可以配便當看一下，說不定可以發現一些之前自己沒注意到的事情。

參考文獻

[1] David M. Pozar Microwave Engineering 微波工程中文版 第二版 譯者 郭仁財
[2] YouTube Dr. Montgomery Circuits I: RLC Circuit Response
[3] Khan LC natural response - derivation
[4] 儲能元件電容與電感，電感能像電容一樣先充電等一下再用嗎? Energy Storage Passive Elements Capacitor and Inductor 
[5] YouTube 李永樂老師講自然對數的底e
[6] YouTube 3Blue1Brown What's so special about Euler's number e?
[7] YouTube ShannMath 自然對數與一般指數的微分

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