自然數e為什麼叫做自然數？

Euler's Number 自然指數常數 e 2.718281828...

        微分方程在計算指數函數的時候，一切一切的關鍵都是這個基數為e的指數函數，最後把sine wave (sin(t) cost(t))整個牽連再一起，在學微分方程的時候通常會直接把一下關係式背下來，e的指數函數微分會等於自己。

        那為什麼e = 2.718281828...這麼特別，e為什麼叫做自然指數，我的印象中就是從複利公式的計算上得到[1] YouTube 李永樂老師講自然對數的底e ，然後就說細菌的複製1變2，2變4...自然界的增長都是有這個規律，說實在我實在沒辦法理解。

        後來看了[2] 3Blue1Brown What's so special about Euler's number e?還有[3] ShannMath 自然對數與一般指數的微分 才有喔原來如此的感覺，快速過一下影片的內容，例如M(t)為基數2的函數對它微分微分再微分，從微分的基本定義出發可以推導出無限微分後會等於函數自己乘上一個常數。

        這個原則可以套用在任何實數的指數，我們用Excel dt = 1/1000畫出C與K的關係圖，可以知道有一個實數C會讓K剛好等於1，這其實也就代表如果以這個實數為底無論微分幾次都會等於自己。

        當然這個數就是著名的e=2.718281828......也被證明是各無理數，到這裡還不能說明它的重要性與為什麼叫做Natural Number的理由，透過指數的數學關係，可以把任意的實數都改寫成e為基數的函數，這是很"自然"的動作，這樣的轉換並沒有變動函數的任何特性，只是這樣的轉換可以讓指數函數在微分與積分的過程中還可以觀察出原本函數的根是什麼，這麼說其實蠻有道理的，你沒有改變真理你只是改變觀察的角度，很推薦中央大學單維彰教授的線上課程，有空的時候可以配便當看一下，說不定可以發現一些之前自己沒注意到的事情。

參考文獻

[1] YouTube 李永樂老師講自然對數的底e
[2] YouTube 3Blue1Brown What's so special about Euler's number e?
[3] YouTube ShannMath 自然對數與一般指數的微分