LC共振腔(LC Tank)怎麼共振產生弦波訊號Sine Wave呢？

        電容C與電感L並聯共振腔Resonator可能是射頻工程師日常對話中最常出現的Top5話題吧！無論是串聯諧振Serial Resonator或並聯諧振Parallel Resonator，都可以很直覺的寫出Zin的公式然後令存儲存在電容上面的電能We與儲存在電感上面的磁能Wm相等就可以推導出共振頻率ω。

         

並聯LC共振腔 Parallel LC Resonator

       但共振時兩個儲存的能量要相等? 這不是理所當然嗎? 好吧其實我也不清楚自己念書的時候有沒有搞懂? 但我們先從RF工程師熟悉的Zin(ω)頻率阻抗下手，如果只有並聯電容，當頻率很低到接近DC的時候，會有最大功率轉移，如果只有只有並聯一個電感，當頻率無窮大的時候，會有最大功率轉移。

        但如果電路上面是LC諧振腔(LC Tank)的形式，先不管為什麼共振時電容與電感儲存的能量會相等，測試振幅大小頻率不同的訊號落在共振腔上面的電壓大小，與原本只有並聯電容與電感的情況相比：

1. 只有電容C的時候頻率要接近 無窮小DC才有最大功率轉移。

2. 只有電感L的時候頻率要無窮大∞才有最大功率轉移相比之下。

LC tank從數學式上面可以觀察到在特定的頻率下會剛好有最大的功率轉移，不是最小與不是最大要在頻率為特定共振頻率才發生。

射頻工程師視角看並聯LC共振腔

        身為RF工程師很快的就能算出Zin在共振時後會無窮大∞，所以等校上LC會消失看不到這電路，但如果消失那電容的電能We與電感的磁能Wm怎麼相等呢? 或為什麼會有能量跑到電容與電感裡面呢?

        這裡舉一個簡單的例子如下，LC共振頻率100Hz，假設L1固定為10mH，利用公式可以算出對應的C1為0.2533029mF，訊號源為正弦訊號，Vp為20V, 頻率為100Hz，20VVs = 20V*cos(2𝜋*100Hz)，因為LC共振，阻抗無窮大，R2上面的電壓會是Vs的一半10V*cos(2𝜋*100Hz)。

 

        下圖我們觀察一下R2, C1與L1上面電流的Waveform，R2上面的電流為藍色線，透過歐姆定律可以計算出：

I=V/(R1+R2)

I = 1V*cos(2𝜋*100Hz)。

也可以觀察出來L1的電流與C1的電流大小相等但是相位剛好顛倒180度。

等等......
不是阻抗無限大嗎? 
不是應該看不LC resonator嗎? 
這電流怎麼來的?

並聯電容電感共振腔LC Tank

        這裡在R2與LC Resonator之間加了一個小小的電阻R3觀察流入LC Resonator的電流，在系統一開始供電的約一個正弦波週期的時間(~20ms)，電流灌入諧振腔LC Tank 後，之後電流就為零，LC共振腔似乎有接跟沒接是一樣的意思，這就符合RF工程上面常提到的共振所以阻抗無窮大看不到它的存在。

        但一開始灌入的電流(能量)呢? 電流就被困在共振腔裡面，電流在電感Inductor與電容Capacitor形成回圈被困在諧振腔裡面，但這只有在頻率與LC共振頻率相等才成立。
    

共振腔自然回應LC Natural Response

       接下來再往大一的課程走去，上次複習儲能組件電感，電容電感與電阻不一樣並非線性變化，電壓與電流的積分與微分式如下，電容與電感都是儲能元件，電容儲存電能後，對電感放電，這是一個經典的電路學與微分方程應用的問題。

        利用KCL我們可以寫出一個二階的微分方程(2nd order)，後面就勾起拉氏轉換拉拉拉拉然後得到，這裡可以參考[[2] YouTube Dr. Montgomery Circuits I: RLC Circuit Response或[3] Khan LC natural response - derivation假設R=0的狀態。

        當然最後計算過程就是工程數學的技巧，以前看著解答嗯嗯嗯今天看不懂解答在寫什麼嗯嗯嗯，但是一定會知道它的解是由自然對數指數e組成，由熟悉的Euler's 公式，可以拆解成cos(t)+jsin(t)的特性，可以猜出電壓與電流會是一個純Sine Wave且頻率為LC開根號的倒數。

        [4] 電容與電感都是儲能元件，電容可以先充電後在使用(例如超級電容)，但怎麼很少談到電感呢！電感能先充電後在拿到其他地方使用嗎？在探討電容儲能問題，把負載改成電感，數值如上的條件C1=0.2533…mF, L1=10mH. 共振頻率為100Hz。

LC Tank電路產生協振頻率正弦波訊號

        下面電路S2一開始關閉，S1開啟此時5V電源先對C1充電到5V後S1關閉，然後S1保持關閉然後S2開啟，此時電容C1會對著L1先放電然後又充電放電最後在電容上的電壓為V(t)=5V*cos(2𝜋*100Hz)，神奇的是情發生了原本只有直流的電路瞬間產生100Hz正弦波，當然實際上LC Tank會有損耗，真實電路振幅會越來越小，所以需要不斷的注入能量，另外LC Tank也可以Colpitts振盪器上面看到 ，本身也是利用LC Tank的特性把特定頻率能量困住在這Tank裡面，再把訊號經過電電晶體形成回路放大。

參考文獻

[1] David M. Pozar Microwave Engineering 微波工程中文版 第二版 譯者 郭仁財
[2] YouTube Dr. Montgomery Circuits I: RLC Circuit Response
[3] Khan LC natural response - derivation
[4] 電容與電感都是儲能元件，電容可以先充電後在使用(例如超級電容)，但怎麼很少談到電感呢！電感能先充電後在拿到其他地方使用嗎？