訊號一樣大加在一起是多3dB還是6dB? Wilkinson Power Divider: Power Sum(3dB) or Voltage Sum (6dB)

        最近工作上在被一個問題所困惑，後來花了幾天的時間思考終於想出來，而且這問題在自己的筆記上面，兩年前就遇過了，真的工作久了一些基本的算術都忘的差不多，有小朋友後就比較少寫網誌跟.......運動(真是個要不得的藉口)，趁著弟弟在睡覺的時候，把還記得的內容寫一下吧。

        其實Microwave Engineering有時候(或大部分的時候)都是在做一件事情-阻抗匹配，現在軟體這麼發達也不知道是好事還是壞事，可以簡化很多計算上的問題，但是卻造成讓剛進到這行的工程師少了一些思考的空間。
        
        Power Divider說想是RF工程師應該都不陌生，以下是一個無損的一分二Power Divider，訊號從Port 1輸入一個訊號0dBm f1的訊號，在Port 2 and Port 3因為能量一分二，所以沒有意外的Port 2/3 會量測到-3dBm的訊號。

     所以沒有問題兩個一樣大的訊號總功率多少？我想大部分的RF工程師會回答多3dB，所以兩根-3dBm的訊號加在一起會多出3dB，也就是0dBm，套在這邊似乎無懈可擊，0dBm訊號一分為二，然後再功率守恆的條件下加在一起也等於原本輸入的訊號0dBm。

     
    

        
        但我們轉個方向在試試看，一樣的Power Divider在Port 2 輸入-3dBm的訊號因為Power Divider S21 = S12，所以我們可以在Port 1量到-6dBm的訊號大小，同理在Port 3輸入一個-3dBm的訊號在Port 1也會量到-6dBm的大小，所以在Port的總功率為：

"兩個一樣大的-6dBm訊號相加所以總功率加3dB，也就是-3dBm"

        這個答案有沒有讓你覺得好像對又好像錯呢？其實這答案說對也對說錯也錯........老屁股的口氣又出現了

        

        這邊來想一下為什麼會有兩個一樣大的訊號加起來會多3dB的說法，如下圖訊號分別從Port 2 和 Port 3過來，因為是對稱的Power Divider，所以兩個訊號會相等P_from Port2 = P_from Port3，所以Total Power = 2x P_from Port2，取Log後就會得到

10*log(2) + 10*log(P_from_Port2) = 3dB+10*log(P_from_Port2)

        以上是RF工程師(不是在講自己嘛)最常用的Power Sum算法，但回到訊號本身多少電壓波載在負載R上面，V_from Port2和V_from Port3，因為分別從Port 2 和Port 3最後再Port 1的大小一樣，所以在R上的總電壓為兩個相加(Voltage Sum)，用從高中就學到的基本電學功率=電壓的平方除以負載，所以可以得到4倍分別從Port2 or Port3來的功率大小，取Log後就會是10*log(4) = 6dB。

             

        所以到底是6dB還是3dB呢？或實際計算我應該用Power Sum還是Voltage Sum呢？在這個例子是比較特別的，因為兩個訊號是coherent，所以計算上要考慮到訊號之間的的相位差，也就是Vtotal=V(1+cos(delta))，會有in-phase 與out-phase兩個極端的結果，上面的例子很明顯的為in-phase相加的結果，所以功率相加會多出6dB。

        

        但如果用在訊號是non-coherent，比方說兩個不同頻率的訊號，或雜訊甲乙丙的計算，就可以套用Power Sum的計算，例如RF Engineer常會遇到IMD的問題，兩根-6dBm CW tone f1 and f2，所以總功率你會不加思索的說出-3dBm這個答案。這個問題會出現在Audio Amplifier，音量大小的關係上[Reference]。

       在雜訊上面的計算也是如此，比方說雜訊甲為-174dBm，雜訊乙為-174dBm，所以兩個雜訊的力量是不是有加起來6dB的效果的，因為他們互為散沙不互相往來，所以加起來就是-171dBm的效果。

       ps. 都說是雜訊了如果彼此之間還有關聯性(coherent)那就不叫做雜訊了