微帶線 LC電容電感模型 延遲 (Propagation Delay)

         RF差動訊號或一些高速訊號處理為了避免差動訊號造成的相位差都會看到走線有時候會在那邊多繞了一下讓訊號"等長"，不然訊號多走一段會有延遲。

        物理直覺上(身為一個RF工程師)會把傳輸線等校成串電感L Serial Inductor與並電容C Shunt Capacitor的模型(假設無損的傳輸線)，看起來很直覺也很有道理!

        但如果是一個LC 充放電的電路模型，怎麼會有整個waveform delay tpd second的效果? 輸出應該在0s的時候就要慢慢充電起來的效果才對吧? 

        拿起放在桌架上當擺設都不好看的電磁學第九章 傳輸線的原理及應用，裡面只有提到特性阻抗Z0與傳播速度up (m/s) or tpd (s)

        

     我們可以用一階的電路，用熟悉的KVL, KCL，歐姆定律可以算出VL與VS的關係式，而且物理上告訴你VL一定會落後VS一個角度θ(時間)。(話說當一個弦波訊號落後360度的時候你怎麼知道他是落後360度呢?)

V_L/V_S =a+jb=A∠-θ

        但這公式似乎不能解釋延遲一段時間tpd訊號才會出來，這也沒錯，因為這公式計算harmonic balance的結果，他只能解釋穩態的響應，但沒辦法描述暫態的行為，而且RF工程師看到這個一定會說啊這不就是一個Low Pass Filter嗎?

        這裡用等校公式假設一下一條傳輸線的等校模型，要達到延遲tpd 0.1s Z0=50Ω計算一下L0=5000mH, C0=2000uF。

        用LTSpice跑一下結果好像跟就跟RC電路或RL電路充放電行為一樣，在Vout = F(Vin(s))在s=0電壓還是有輸出，跟延遲0.1s好像有點落差。

        但其實仔細放大來看Low Pass Filter LCR與單純的RL與RC電路還是不太一樣，流入電感L0的電流在一開始也會被電容C0拉走，所以會有一段小時間RL沒有電流流入的延遲的效果。

        剛剛用一階LC來模擬傳輸線模型，但實際上傳輸線應該要切切切切切成無窮多段的LC組成，我們用剛剛上面的例子把LC在細切成10 order 模型，也是是原本的

L0=5000mH  to  10*500mH

C0=2000uF   to   10* 200uF

        10階LC Transmission Line模型就很接近預期的效果。

       RF工程師看到傳輸線模型就會說"Low Pass Filter啊!" ，但實際傳輸線應該是全部頻率都會通過的，以下的頻率響應可以看出端倪，其實從L0, C0的公式也可以拆出來，但我們用n階去模擬的時候，LC的截止頻率就會快速的往高頻推出，如果有個無窮階數就可以等校傳輸線Transmission Line了，But.....電腦運算上面無窮似乎不太可能，  [2] Transmission Line Modeling這裡有提到他用了320 cascaded LC 來等校傳輸線的行為。

Model Used  [2]

"For this work, I assumed a lossless transmission line. For the simulations, I used a network of 320 cascaded LC sections. A section of it is illustrated below ...."

 

        微帶傳輸線還有一個跟別人不一樣的特性"色散"Dispersion，這個在Signal Integrity很常看到。

        這個問題[3] Prof. Tzong-Lin Wu, Microwave Filter Design (online slide)可以看出來因為原本平行板傳輸線是假設能量都在兩個平行板中傳輸，但是微帶傳輸線會切過兩個不同介質，所以等校的Effective Dielectric Constant (Ere or Eff)會是一個頻率函數，也就是說L0, C0在不同頻率下是個非固定值，或不同頻率下相同物理長度的微帶線會有不同的傳播速度，這個會讓眼圖Eye Diagram 長的沒那麼好看。

     這行為其實很像白光通過三菱鏡的"色散"效果其實是很類似的，但實際使用上其實問題不大，因為實際上要讓這個問題出現的頻率也通常不跑在微帶線上面。

參考文獻

[1] David K. Cheng Field and Wave Electromagnetics  2/e 電磁學 第二版

[2] Transmission Line Modeling

[3] Prof. Tzong-Lin Wu, Microwave Filter Design (online slide)

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